Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 261–270.

1. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{47}-5)(\sqrt{47}+5)$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{47})^2 - 5^2 = 47 - 25 = 22.$$

   Отдельная страница задачи
2. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{23}-2)(\sqrt{23}+2)$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{23})^2 - 2^2 = 23 - 4 = 19.$$

   Отдельная страница задачи
3. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{2^{9}}{16}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Заметим, что $16 = 2^{4}$.

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{2^{9}}{16} = 2^{9 - 4} = 2^{5} = 32.$$

   Отдельная страница задачи
4. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(2\sqrt{3})}^{2}}{120}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,1

   $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$, поэтому

   $$\frac{12}{120} = 0{,}1.$$

   Отдельная страница задачи
5. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{64}{{(2\sqrt{8})}^{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   $(2\sqrt{8})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 4 \cdot 8 = 32$, поэтому

   $$\frac{64}{32} = 2.$$

   Отдельная страница задачи
6. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{7\cdot 45}\cdot \sqrt{35}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 105

   Внесём всё под один корень и разложим на множители:

   $$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{7 \cdot 45 \cdot 35} = \sqrt{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}} = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105.$$

   Отдельная страница задачи
7. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{-\,12}\cdot {(a^{5})}^{3}$ при $a=4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{-12}\cdot {(a^{5})}^{3} = a^{-12 + 5 \cdot 3} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 4$: $4^{3} = 64$.

   Отдельная страница задачи
8. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2 = 13 - 2 = 11.$$

   Отдельная страница задачи
9. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{{(-\,a)}^{8}\cdot a^{2}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{{(-a)}^{8}\cdot a^{2}} = \sqrt{a^{10}} = |a^{5}|.$$

   При $a = 2$: $2^{5} = 32$.

   Отдельная страница задачи
10. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\sqrt{16a^{2}+8ab+b^{2}}$ при $\displaystyle a=\frac{3}{11}$ и $\displaystyle b=5\frac{10}{11}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 7

    Под корнем полный квадрат: $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

    При $a = \frac{3}{11}$ и $b = 5\frac{10}{11}$:

    $$\left|4 \cdot \frac{3}{11} + 5\frac{10}{11}\right| = 7.$$

    Отдельная страница задачи