Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 281–290.

1. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{21}\cdot {(b^{4})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{16}}$ при $a=2$ и $b=\sqrt{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{21}\cdot {(b^{4})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{16}} = a^{21 - 16} \cdot b^{4 \cdot 4 - 16} = a^{5}.$$

   Подставим $a = 2$ и $b = \sqrt{2}$: $2^{5} = 32$.

   Отдельная страница задачи
2. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{-\,8}\cdot {(a^{5})}^{2}$ при $a=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{-8}\cdot {(a^{5})}^{2} = a^{-8 + 5 \cdot 2} = a^{2}.$$

   Подставим $a = 3$: $3^{2} = 9$.

   Отдельная страница задачи
3. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{16x^{8}}{y^{6}}}$ при $x=2$ и $y=4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{16x^{8}}{y^{6}}} = \frac{4|x^{4}|}{|y^{3}|}.$$

   При $x = 2$ и $y = 4$: $\frac{4 \cdot 2^{4}}{4^{3}} = 1$.

   Отдельная страница задачи
4. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+10ab+25b^{2}}$ при $\displaystyle a=14\frac{6}{13}$ и $\displaystyle b=\frac{4}{13}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 10ab + 25b^2 = (a + 5b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 14\frac{6}{13}$ и $b = \frac{4}{13}$:

   $$\left|14\frac{6}{13} + 5 \cdot \frac{4}{13}\right| = 16.$$

   Отдельная страница задачи
5. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{25x^{4}}{y^{6}}}$ при $x=10$ и $y=5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{25x^{4}}{y^{6}}} = \frac{5|x^{2}|}{|y^{3}|}.$$

   При $x = 10$ и $y = 5$: $\frac{5 \cdot 10^{2}}{5^{3}} = 4$.

   Отдельная страница задачи
6. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{2^{7}}{32}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Заметим, что $32 = 2^{5}$.

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{2^{7}}{32} = 2^{7 - 5} = 2^{2} = 4.$$

   Отдельная страница задачи
7. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(2\sqrt{10})}^{2}}{160}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,25

   $(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$, поэтому

   $$\frac{40}{160} = 0{,}25.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $3^{-\,7}\cdot {(3^{5})}^{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$3^{-7}\cdot {(3^{5})}^{2} = 3^{-7 + 5 \cdot 2} = 3^{3} = 27.$$

   Отдельная страница задачи
9. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(3\cdot 6)}^{4}}{3^{2}\cdot 6^{3}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 54

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(3\cdot 6)}^{4}}{3^{2}\cdot 6^{3}} = 3^{4 - 2} \cdot 6^{4 - 3} = 3^{2} \cdot 6 = 54.$$

   Отдельная страница задачи
10. СтепениОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{2^{7}}{8}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 16

    Заметим, что $8 = 2^{3}$.

    Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

    $$\frac{2^{7}}{8} = 2^{7 - 3} = 2^{4} = 16.$$

    Отдельная страница задачи