Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 161–170.

1. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{19}\cdot a^{-\,11}}{a^{5}}$ при $a=5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 125

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{19}\cdot a^{-11}}{a^{5}} = a^{19 - 11 - 5} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 5$: $5^{3} = 125$.

   Отдельная страница задачи
2. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{54}{{(3\sqrt{2})}^{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$, поэтому

   $$\frac{54}{18} = 3.$$

   Отдельная страница задачи
3. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{-\,9}\cdot {(a^{2})}^{6}$ при $a=5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 125

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{-9}\cdot {(a^{2})}^{6} = a^{-9 + 2 \cdot 6} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 5$: $5^{3} = 125$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{14}\cdot {(b^{4})}^{3}}{{(a\cdot b)}^{12}}$ при $a=3$ и $b=\sqrt{3}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{14}\cdot {(b^{4})}^{3}}{{(a\cdot b)}^{12}} = a^{14 - 12} \cdot b^{4 \cdot 3 - 12} = a^{2}.$$

   Подставим $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$: $3^{2} = 9$.

   Отдельная страница задачи
5. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+10ab+25b^{2}}$ при $\displaystyle a=7\frac{7}{11}$ и $\displaystyle b=\frac{3}{11}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 10ab + 25b^2 = (a + 5b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 7\frac{7}{11}$ и $b = \frac{3}{11}$:

   $$\left|7\frac{7}{11} + 5 \cdot \frac{3}{11}\right| = 9.$$

   Отдельная страница задачи
6. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения ${13}^{-\,5}\cdot {({13}^{3})}^{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $${13}^{-5}\cdot {({13}^{3})}^{2} = 13^{-5 + 3 \cdot 2} = 13.$$

   Отдельная страница задачи
7. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{4^{4}}{64}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Заметим, что $64 = 4^{3}$.

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{4^{4}}{64} = 4^{4 - 3} = 4.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(2\cdot 6)}^{7}}{2^{5}\cdot 6^{6}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(2\cdot 6)}^{7}}{2^{5}\cdot 6^{6}} = 2^{7 - 5} \cdot 6^{7 - 6} = 2^{2} \cdot 6 = 24.$$

   Отдельная страница задачи
9. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $7^{-\,6}\cdot {(7^{2})}^{4}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 49

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$7^{-6}\cdot {(7^{2})}^{4} = 7^{-6 + 2 \cdot 4} = 7^{2} = 49.$$

   Отдельная страница задачи
10. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения ${(\sqrt{15}-2)}^{2}+4\sqrt{15}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 19

    Раскроем квадрат: $(\sqrt{15} - 2)^2 = 15 - 4\sqrt{15} + 4$. Слагаемые с корнем взаимно уничтожаются:

    $$15 - 4\sqrt{15} + 4 + 4\sqrt{15} = 19.$$

    Отдельная страница задачи