Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 251–260.

1. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^{4}y^{8}}$ при $x=5$ и $y=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 80

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^{4}y^{8}} = \frac{1}{5} \cdot |x^{2}| \cdot |y^{4}|.$$

   При $x = 5$ и $y = 2$: $\frac{1}{5} \cdot 5^{2} \cdot 2^{4} = 80$.

   Отдельная страница задачи
2. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{96}{{(4\sqrt{2})}^{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$, поэтому

   $$\frac{96}{32} = 3.$$

   Отдельная страница задачи
3. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{22}\cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   Корни можно перемножать и делить под одним знаком:

   $$\frac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{22 \cdot 33}{6}} = \sqrt{121} = 11.$$

   Отдельная страница задачи
4. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{4}\cdot x^{8}y^{4}}$ при $x=2$ и $y=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{1}{4}\cdot x^{8}y^{4}} = \frac{1}{2} \cdot |x^{4}| \cdot |y^{2}|.$$

   При $x = 2$ и $y = 3$: $\frac{1}{2} \cdot 2^{4} \cdot 3^{2} = 72$.

   Отдельная страница задачи
5. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения ${(a^{5})}^{-\,3}:a^{-\,19}$ при $a=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $${(a^{5})}^{-3}:a^{-19} = a^{5 \cdot (-3) + 19} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 3$: $3^{4} = 81$.

   Отдельная страница задачи
6. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения ${(\sqrt{11}-7)}^{2}+14\sqrt{11}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Раскроем квадрат: $(\sqrt{11} - 7)^2 = 11 - 14\sqrt{11} + 49$. Слагаемые с корнем взаимно уничтожаются:

   $$11 - 14\sqrt{11} + 49 + 14\sqrt{11} = 60.$$

   Отдельная страница задачи
7. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(2\cdot 10)}^{5}}{2^{2}\cdot {10}^{4}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 80

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(2\cdot 10)}^{5}}{2^{2}\cdot {10}^{4}} = 2^{5 - 2} \cdot 10^{5 - 4} = 2^{3} \cdot 10 = 80.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{3})}^{6}\cdot a^{3}}{a^{17}}$ при $a=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{3})}^{6}\cdot a^{3}}{a^{17}} = a^{3 \cdot 6 + 3 - 17} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 3$: $3^{4} = 81$.

   Отдельная страница задачи
9. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{9}\cdot x^{2}y^{6}}$ при $x=7$ и $y=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 63

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{1}{9}\cdot x^{2}y^{6}} = \frac{1}{3} \cdot |x^{1}| \cdot |y^{3}|.$$

   При $x = 7$ и $y = 3$: $\frac{1}{3} \cdot 7^{1} \cdot 3^{3} = 63$.

   Отдельная страница задачи
10. СтепениОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{2^{9}\cdot {12}^{11}}{{24}^{9}}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 144

    Заметим, что $24 = 2 \cdot 12$.

    Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

    $$\frac{2^{9}\cdot {12}^{11}}{{24}^{9}} = 2^{9 - 9} \cdot 12^{11 - 9} = 12^{2} = 144.$$

    Отдельная страница задачи